Äquivalenz von imaginären Zahlen und zweidimensionalen Vektoren unter Ausnutzung von Polarkoordinaten.
Eine jede imaginäre Zahl j=ai+b (mit a,b reell) läßt sich unter Anwendung eines Koordinatensystems mit der Achsenbeschriftung (1,i) als zweidimensionaler Vektor (a,b) darstellen. Dieser wiederum läßt sich als Länge l und Winkel µ des Vektor in Polarkoordinaten umrechnen.
Daraus ergibt sich:
a = l * cos µ
b = l * sin µ
und
j = l * i * cos µ + l * sin µ
bzw.
j = l * (icosµ + sinµ)
Daraus ergibt sich, dass vereinfachend mit normierten Zahlen (l=1) gearbeitet werden kann:
j = l * nj
mit l = sqrt(a²+b²) und nj = icosµ+sinµ
Daraus ergibt sich:
j / l = nj
(ai+b)/l = icosµ+sinµ
a,b,cosµ,sinµ reell ergibt sich:
a/l = cosµ und b/l=sinµ
a/sqrt(a²+b²) = cosµ und b/sqrt(a²+b²) = sinµ
sqrt(a²/(a²+b²)) = cosµ und sqrt(b²/(a²+b²)) = sinµ